VirtualBoxのプロキシ設定はゲストアプリケーションを構成しない
アダプターモードはネットワーク経路を提供するだけであり、ゲストのブラウザーやパッケージマネージャーには独自の対応プロキシ入力が依然として必要です。
VirtualBoxのHTTPプロキシ設定はVirtualBox自体を構成するものです。ゲスト内のブラウザー、パッケージマネージャー、更新ツールに同じ設定を書き込むわけではありません。
NATもブリッジネットワークも、変わるのはネットワークへの接続方法であり、HTTPクライアントの動作ではありません。どちらも通常のソケット接続をHTTP CONNECTのやり取りに変えるものではありません。
切り分けは二つの問いに分けます。ゲストは仮想アダプター経由で必要なリスナーに到達できるか。到達できるなら、問題のゲストクライアントはそのリスナーの種類・アドレス・アカウントを選択しているか。
どのクライアントもホストやポートに到達できない場合は、まず接続性を調べます。ブラウザーは動くのにパッケージのダウンロードが失敗する場合は、そのパッケージクライアントが対応する設定を確認します。APTを使うゲストでは、そのゲスト内でAPT自身のプロキシ設定を行います。
ブリッジにすると到達性や物理ネットワーク上でのゲストの存在が変わることがあります。ゲストアプリケーションの経路設定の代わりではなく、その要件のために選んでください。